题解 LuoGu P4147 玉蟾宫 最大子矩阵问题 悬线法 学习笔记

题解 LuoGu P4147 玉蟾宫 最大子矩阵问题 悬线法 学习笔记

题目描述

这片土地被分成N*M个格子，每个格子里写着’R’或者’F’，R代表这块土地被赐予了rainbow，F代表这块土地被赐予了freda。

现在freda要在这里卖萌。。。它要找一块矩形土地，要求这片土地都标着’F’并且面积最大。

但是rainbow和freda的OI水平都弱爆了，找不出这块土地，而蓝兔也想看freda卖萌（她显然是不会编程的……），所以它们决定，如果你找到的土地面积为S，它们每人给你S两银子。

输入格式：
第一行两个整数N,M，表示矩形土地有N行M列。

接下来N行，每行M个用空格隔开的字符’F’或’R’，描述了矩形土地。

输出格式：
输出一个整数，表示你能得到多少银子，即(3*最大’F’矩形土地面积)的值。

本题要求 最大子矩阵面积

O(N^3^)

暴力做法，枚举每个点，每个点向下的宽度，每个点向右的长度，比较

TLE

O(N^2^) 悬线法

考虑这样一个问题，在一个点，向左右不断延伸直到无法延伸

对这一行连续的点进行该操作

那么对于这一行连续的点来说，向左向右延伸的和相同

说明矩阵的长度已经确定，现在需要确定宽度

再不断向上延伸，但是为了保证矩形，所以长度变成了向上延伸的每行的宽度的最小值

如图：

那么再来思考一个问题，一个点在向上拓展的过程中，可能由于上一行的宽度比现在的宽度小，那么等于为了高度舍弃了一定宽度，为什么会算出最大矩形呢？

如图：

答案是不会的，矩形的确定与拓展的高度有关。

如果对每个点都进行该操作，那么图中的绿色点得到的矩形就是紫色矩形，

只用在最后比较每个点拓展的矩形的面积大小即可

这就是悬线法，知道了原理后总结一下：

对每个点向左向右拓展的宽度，再算出向上拓展的高度

计算每个点组成的矩形面积

比较一下答案

总结一下

因为是矩形，最好的复杂度好不过N^2^

N^3^的做法通常是算出的结果有重复，每个点算了多次

N^2^可以使每个点只算一遍，减少了非比较重复计算

代码：

#include<bits/stdc++.h>
int LL[1001][1010],RR[1001][1010],HH[1001][1010];
int a[1010][1010];
int ans=0;
int main (){
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j){
            char x=' ';
            while(x==' '||x=='\n')scanf("%c",&x);
            if(x=='F'){
                a[i][j]=1;
                HH[i][j]=HH[i-1][j]+1;
                LL[i][j]=LL[i][j-1]+1;
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=m;j>=1;--j){
            if(a[i][j]){
                RR[i][j]=RR[i][j+1]+1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j){
            if(LL[i-1][j]>0){
                LL[i][j]=std::min(LL[i-1][j],LL[i][j]);
                RR[i][j]=std::min(RR[i-1][j],RR[i][j]);
            }
            ans=std::max(ans,(LL[i][j]+RR[i][j]-1)*HH[i][j]);
        }
    printf("%d",ans*3);
}